La meccanica celeste e i punti di Lagrange

La meccanica celeste è quel ramo della meccanica che si occupa della studio del movimento dei corpi celesti quali pianeti, satelliti, comete, stelle, galassie etc. dal punto di vista fisico-matematico applicando la teoria della gravitazione universale.

Uno dei quesiti principali a cui la meccanica celeste vuol dare una risposta è quello di determinare il moto degli oggetti del sistema solare; dai tempi di Galileo Galilei (il primo a puntare una lente verso il cielo), essi sono ormai oggetto di accurate osservazioni, da cui si è compreso che le mutue interazioni tra i vari corpi danno luogo a moti anche molto complessi e difficili da prevedere, come quelli delle comete o degli asteroidi (particolarmente importanti per noi umani, poiché è fondamentale sapere con largo anticipo se la nostra Terra verrà colpita da uno di loro).

Di conseguenza, si è cercato di studiare dei metodi fisico-matematici in grado di trovare una soluzione, o quantomeno una buona approssimazione, a tale problema.

Uno di questi metodi è il cosiddetto problema degli n corpi, in cui si considerano “n” corpi liberi soggetti esclusivamente all’azione di attrazione gravitazionale reciproca, con l’intento di calcolare le loro traiettorie nello spazio. Sin da subito si è provato che per n > 2 questo problema non è risolvibile, ovvero non è possibile determinare matematicamente le equazioni che descrivono il moto dei corpi considerati, a meno di trovare dei compromessi, come nel caso del problema dei 3 corpi; in questo caso, infatti, facendo della opportune ipotesi che, con buona approssimazione, rispecchiano alcune situazioni reali, si è riusciti a calcolare il moto dei tre corpi esaminati.

Nel caso dei 3 corpi ristretto, la più importante ipotesi fatta è stata quella di considerare uno dei tre oggetti con massa molto più piccola (trascurabile) rispetto alle masse degli altri due, in modo da trascurare l’influenza del corpo piccolo sulla dinamica degli altri due. Nello sviluppo del problema dei tre corpi ristretto, si è giunti a importanti conclusioni sulla dinamica degli oggetti ma anche sull’equilibrio che può esserci tra loro.

I punti di Lagrange, infatti, costituiscono situazioni di equilibrio delle forze che agiscono sul corpo di massa minore. Questi punti prendono nome da Joseph–Louis Lagrange, matematico e astronomo italo-francese, poiché fu il primo nel 1772 ad approfondire questo aspetto della meccanica celeste.

Cosa significa punti di equilibrio?

In sostanza, in questi punti le forze gravitazionali dei corpi di massa maggiore che agiscono sul corpo di massa trascurabile si annullano. L’effetto fondamentale che si ottiene da questa condizione è che l’oggetto piccolo resta fermo rispetto agli altri due.
Risolvendo matematicamente le equazioni che determinano l’equilibrio, si è giunti alla scoperta di ben cinque punti stazionari chiamati L1, L2, L3, L4 ed L5.

Come si può osservare dall’immagine, i punti L1, L2 ed L3 sono posizionati sulla linea congiungente il Sole e la Terra. Questi sono detti di equilibrio instabile, poiché basta una piccola perturbazione delle forze che agiscono in quel punto per fare in modo che il corpo si allontani definitivamente. I punti L4 ed L5, invece, condividono la stessa orbita della Terra e si trovano ai vertici dei due triangoli equilateri la cui base comune è data dalla linea congiungente la Terra e il Sole; essi sono detti di equilibrio stabile poiché, sotto opportune condizioni sulle masse dei corpi maggiori, gli oggetti posizionati in tali punti tendono a restare stabilmente in L4 ed L5. Queste posizioni sono molto particolari e, per questo, sfruttate per studi astronomici:

• L1 si trova a 1,5 milioni di chilometri dalla Terra e a circa 150 milioni di chilometri dal Sole; in esso sono state posizionate sonde destinate allo studio del Sole in quanto hanno il vantaggio mantiene una posizione costante rispetto alla Terra e al Sole, come ad esempio la sonda SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) lanciata nel 1995 come progetto congiunto dell’ESA e della NASA;
• L2 si trova sulla stessa linea di L1 ma da parte opposta rispetto alla Terra stessa in modo da essere nascosto al Sole; in esso vengono posizionate sonde destinate a studiare il cosmo, poiché ben schermate dalla radiazione solare, come l’attuale sonda GAIA dell’ESA e le missioni concluse Planck Surveyor e Herschel Space Observatory sempre dell’ESA, la sonda Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) della NASA; in L2, inoltre, resta temporaneamente intrappolato del materiale meteorico che riflette luce solare generando una debole luminosità nel cielo in direzione opposta al Sole, detta gegenschein (dal tedesco “bagliore riflesso”);

• L3 si trova sempre sulla stessa linea di L1 ed L2 ma, rispetto Sole, da parte opposta alla Terra e risulta praticamente invisibile a quest’ultima; alcuni pensano sia un ottimo posto dove nascondere armi spaziali, chissà se sarà davvero utilizzato per questo scopo!
• L4 ed L5 sono molto interessanti soprattutto nel sistema dove i corpi di massa maggiore sono il Sole e Giove: in questi punti sono stati osservati gruppi di asteroidi chiamati Greci e Troiani che precedono e seguono il più grande pianete del sistema solare; questo accade anche nel sistema con corpi principali Sole–Saturno, Sole-Nettuno e Terra–Luna (nubi di Kordylewski).

Nel 2010 è stato scoperto il primo asteroide troiano della Terra, chiamato 2010TK7.

In definitiva, i punti lagrangiani possono essere considerati una sorta di “parcheggio spaziale” e, con un’ottica un pochino fantascientifica, chissà se in futuro potranno essere sede anche di colonie umane.